1051. O trudnościach z mierzeniem / dr hab. Paweł Goldstein, prof. ucz.

<p>Wykład dr hab. Pawła Goldsteina w ramach XXX Festiwalu Nauki w Warszawie [26 września 2026 r.]Jak zmierzyć długość krzywej? Czy pole powierzchni można zawsze dobrze przybliżyć prostszymi figurami? Czy istnieje obiekt o skończonym polu i nieskończonym obwodzie? I czy są zbiory, których długości po prostu nie da się sensownie określić?Dr hab. Paweł Goldstein pokazuje, że mierzenie długości, pól i powierzchni jest łatwe tylko do pewnego momentu. Gdy wychodzimy poza odcinki, wielokąty i proste bryły, intuicja zaczyna zawodzić.Wykład rozpoczyna się od rzeczy najprostszych: mierzenia odcinków i łamanych. Potem pojawia się krzywa, której długość można przybliżać coraz dokładniej za pomocą łamanych. To prowadzi do klasycznego przykładu okręgu i sposobu, w jaki już Archimedes przybliżał liczbę π za pomocą wielokątów.Dalej robi się znacznie mniej intuicyjnie.Czy powierzchnię walca można przybliżać wielościanami tak samo łatwo, jak długość okręgu przybliżamy wielokątami? Okazuje się, że nie. Prof. Goldstein pokazuje tzw. latarnię Schwarza - konstrukcję złożoną z coraz drobniejszych trójkątów, która geometrycznie coraz lepiej przylega do walca, ale jej pole powierzchni wcale nie musi zbliżać się do pola walca.To zaskakujący przykład pokazujący, że „coraz lepsze podobieństwo” figury nie zawsze oznacza coraz lepsze przybliżenie jej pola.Kolejnym bohaterem wykładu jest krzywa Kocha. Powstaje przez nieskończone powtarzanie bardzo prostego zabiegu: każdy odcinek zastępujemy czterema krótszymi. W efekcie otrzymujemy obiekt, który mieści się na ograniczonym obszarze, ale ma nieskończoną długość.Po połączeniu trzech takich krzywych powstaje płatek Kocha - figura o skończonym polu i nieskończonym obwodzie. To jeden z klasycznych przykładów fraktala i świetny dowód na to, że nasze codzienne wyobrażenia o „wielkości” obiektów nie zawsze działają w matematyce.Prof. Goldstein przechodzi następnie do zbioru Cantora - zbioru, który nie zawiera żadnego odcinka, a mimo to można przypisać mu określoną długość. Konstrukcja polega na wielokrotnym „wycinaniu dziur” z odcinka i pokazuje, że nawet bardzo porozrywany zbiór może mieć zaskakujące własności.Na koniec pojawia się najdziwniejszy przykład - zbiór Vitalego.Jest to taki zbiór liczb rzeczywistych, któremu nie da się przypisać sensownej długości zgodnej z naturalnymi zasadami mierzenia. Jeśli założymy, że ma dodatnią długość, otrzymujemy sprzeczność. Jeśli przyjmiemy, że ma długość zero - również dochodzimy do sprzeczności.Wniosek