1045. 2+2=1 czyli matematyka w szyfrowaniu - Mikołaj Znamierowski

<p>Wykład Mikołaja Znamierowskiego nagrany przy okazji Dnia Odkrywców Kampusu Ochota 2026 [21 marca 2026 r.]Jak przesłać wiadomość tak, żeby właściwa osoba mogła ją bez problemu odczytać, ale dla każdego podsłuchującego pozostała niezrozumiała? Dlaczego współczesne szyfrowanie opiera się na problemach matematycznych, które celowo mają być trudne? I co z tym wszystkim wspólnego mają liczby pierwsze?Mikołaj Znamierowski wprowadza w świat kryptografii – od prostych szyfrów podstawieniowych po mechanizmy wykorzystywane we współczesnym szyfrowaniu z kluczem publicznym. Pokazuje przy tym, że matematyka chroniąca nasze wiadomości, hasła czy transakcje bankowe może działać według reguł bardzo odległych od arytmetyki znanej ze szkoły. W odpowiednio dobranym systemie nawet tytułowe 2+2 może być równe 1.Na początku poznajemy podstawowy problem kryptografii: zaszyfrowana wiadomość ma być łatwa do odczytania dla osoby posiadającej odpowiedni klucz i jednocześnie możliwie trudna do złamania dla kogoś, kto tego klucza nie zna.Pierwszym przykładem jest szyfr Cezara, w którym każda litera alfabetu zostaje przesunięta o określoną liczbę miejsc. To dobry punkt wyjścia do wprowadzenia arytmetyki modularnej – matematyki, w której po dojściu do końca pewnego zakresu zaczynamy liczyć od początku, podobnie jak na tarczy zegara.Sam szyfr Cezara okazuje się jednak bardzo łatwy do złamania. Wykładowca pokazuje więc bardziej rozbudowany szyfr Vigenère’a, wykorzystujący zmieniające się przesunięcia liter. Na jego przykładzie tłumaczy, dlaczego samo zwiększanie liczby możliwych kluczy nie rozwiązuje wszystkich problemów bezpieczeństwa i jak analiza zaszyfrowanego tekstu może zdradzać informacje o zastosowanym szyfrze.Następnie przechodzimy do jednego z najważniejszych pomysłów współczesnej kryptografii – szyfrowania asymetrycznego. Zamiast jednego tajnego klucza używa się dwóch: publicznego, który może poznać każdy i który służy do szyfrowania, oraz prywatnego, znanego jedynie odbiorcy i umożliwiającego odszyfrowanie wiadomości.Jak jednak skonstruować dwa klucze tak, żeby były ze sobą matematycznie powiązane, a jednocześnie znajomość klucza publicznego nie pozwalała łatwo odtworzyć prywatnego?Tu pojawiają się liczby pierwsze i algorytm RSA.RSA wykorzystuje bardzo szczególną asymetrię matematyczną: pomnożenie dwóch dużych liczb pierwszych jest dla komputera łatwe, natomiast odtworzenie tych liczb na podstawie samego wyniku mnożenia – czyli faktoryzacja dużej liczby – może być niezwykle