1041. Matematyka w grach karcianych - Dominik Gąska

<p>Wykład Dominika Gąski nagrany przy okazji Dnia Odkrywców Kampusu Ochota 2026 [21 marca 2026 r.]Czy prosta gra karciana może prowadzić do pytań, nad którymi pracują najwybitniejsi matematycy? Okazuje się, że tak. Dominik Gąska na przykładzie gry Set pokazuje, jak z pozornie prostych zasad można przejść do geometrii skończonej, kombinatoryki i problemów, które w wyższych wymiarach pozostają nierozwiązane.Na początku poznajemy zasady klasycznego Seta. Każda z 81 kart ma cztery cechy – kolor, kształt, wypełnienie i liczbę symboli – a każda cecha występuje w trzech wariantach. Zadaniem graczy jest odnajdywanie trójek kart, w których dla każdej cechy elementy są albo wszystkie takie same, albo wszystkie różne.To wystarcza, by zadać pierwsze matematyczne pytania. Ile setów można utworzyć z jedną wybraną kartą? Ile setów znajduje się w całej talii? A przede wszystkim: ile kart można maksymalnie wyłożyć, żeby nie było wśród nich ani jednego seta?Aby na nie odpowiedzieć, Dominik Gąska zamienia karty w punkty pewnej przestrzeni matematycznej. W prostszym wariancie z dwiema cechami otrzymujemy dziewięć punktów przestrzeni afinicznej nad ciałem trójelementowym. Sety okazują się w niej po prostu prostymi – choć niektóre z tych „prostych” na zwykłym rysunku mogą wyglądać zaskakująco, nawet jak trójkąty.Dzięki takiemu modelowi problemy z gry można przełożyć na problemy geometryczne i kombinatoryczne. W pełnej wersji Seta, z czterema cechami i 81 kartami, maksymalnie można wybrać 20 kart bez żadnego seta. Dodanie kolejnej gwarantuje już pojawienie się odpowiedniej trójki.To przykład tzw. problemu cap set – pytania o największy zbiór punktów w przestrzeni nad ciałem trójelementowym, który nie zawiera trzech punktów leżących na jednej prostej. Dla małych wymiarów odpowiedzi znamy, ale wraz ze wzrostem liczby wymiarów problem robi się niezwykle trudny. W wykładzie pojawiają się przykłady konstrukcji dla kolejnych wymiarów, ograniczenia uzyskiwane metodami kombinatorycznymi oraz obliczenia komputerowe. Dla wymiaru siódmego dokładna odpowiedź nadal pozostaje problemem otwartym. Nad zagadnieniami tego typu pracowali m.in. matematycy światowej klasy, w tym Terence Tao.W drugiej części spotkania poznajemy mniej znaną grę – projektywny, czyli rzutowy Set. Tutaj karty opisane są układami kolorowych kropek, a trzy karty tworzą set wtedy, gdy łączna liczba kropek każdego koloru jest parzysta.Ta wersja gry prowadzi do zupełnie innej geometrii – przestrzeni projektywnych nad ciałem d